Movendo Médio Processo De Ordem 3

Departamento de Estatística, Universidade Federal de Tecnologia, Owerri, Nigéria 3 Departamento de Ciências Matemáticas, Informática e Física, Universidade Federal, Otueke, Nigéria Copyright copy 2015 by authors and Scientific Research Publishing Inc. Esta obra está licenciada sob a Licença Creative Commons Atribuição Internacional (CC BY). Recebido 26 de novembro de 2014 aceito 12 de dezembro de 2014 publicado 19 de janeiro de 2015 Invertibilidade é uma das propriedades desejáveis ​​dos processos de média móvel. Este estudo deriva conseqüências da condição de invertibilidade sobre os parâmetros de um processo de média móvel de ordem três. O estudo também estabelece os intervalos para os três primeiros coeficientes de autocorrelação do processo de média móvel de ordem três com a finalidade de distinguir entre o processo e qualquer outro processo (linear ou não linear) com estrutura de autocorrelação semelhante. Para um processo de média móvel inversa de ordem três, os intervalos obtidos são, e. Processo Médio Móvel da Ordem Três, Equação de Característica, Condição de Invertibilidade, Coeficiente de Autocorrelação, Segundo Teste Derivativo Os processos de média móvel (modelos) constituem uma classe especial de modelos de séries temporais lineares. Um processo de ordem média de ordem (processo) é da forma: onde são constantes reais e, é uma seqüência de variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e variância constante. Esses processos têm sido amplamente utilizados para modelar dados de séries temporais de muitos campos 1 -3. O modelo em (1.1) é sempre estacionário. Assim, uma condição necessária para a utilização do processo de média móvel é que é invertido. Então, o modelo em (1.1) é inversível se as raízes da equação característica estiverem fora do círculo unitário. As condições de invertibilidade dos modelos de média móvel de primeira ordem e segunda ordem foram derivadas 4 5. Ref. 6 usou um processo de média móvel de ordem três (processo MA (3)) em seu estudo de simulação. Entretanto, os processos de média móvel de ordem superior foram usados ​​para modelar dados de séries de tempo, não muito foi dito sobre as propriedades de suas funções de autocorrelação. Este estudo enfoca a condição de invertibilidade de um processo MA (3). Considera-se também as propriedades de seus coeficientes de autocorrelação de um processo de média móvel inversível de ordem três. 2. Conseqüência da condição de involução sobre os parâmetros de um processo MA (3) Para, o seguinte processo de média móvel de ordem 3 é obtido a partir de (1.1): A equação característica correspondente a (2.1) é dada por (2.2) é uma equação cúbica. Informações detalhadas sobre como resolver equações cúbicas podem ser encontradas em 7 8, entre outras. Tem sido uma tradição comum considerar a natureza das raízes de uma equação característica ao determinar a condição de invertibilidade de um modelo de séries temporais 9. Como uma equação cúbica, (2.2) pode ter três raízes reais distintas, uma raiz real e duas complexas Raízes, duas raízes reais iguais ou três raízes iguais reais. A natureza das raízes de (2.2) é determinada com a ajuda do discriminante 8 If. (2.2) tem as seguintes raízes distintas 7 onde é medida em radianos e. Quando. (2.2) tem apenas raiz real dada por 1 como As outras raízes são 8 Se. e. Então e (2.2) tem duas raízes iguais. As raízes de (2.2) neste caso, são as mesmas que (2.7), (2.8) e (2.9). Para e. (2.2) tem três raízes iguais reais. Cada uma dessas raízes é dada por 8 como Para (2.1) para ser invertible, as raízes de (2.2) são esperadas para ficar fora do círculo unidade e. No teorema seguinte, as condições de invertibilidade de um processo MA (3) são dadas sujeitas à condição de que a equação característica correspondente tenha três raízes iguais reais. Teorema 1. Se a equação característica tem três raízes iguais reais, então o processo de média móvel de ordem três é inversível se Para invertibilidade, esperamos que cada uma das três raízes iguais reais fiquem fora do círculo unitário. Assim, Resolvendo a desigualdade. Como cada uma das raízes está fora do círculo unitário, o valor absoluto do seu produto deve ser, portanto, maior que um. Por isso, Isto completa a prova. A região de invertibilidade de uma média móvel de ordem três com raízes iguais da Equação característica (2.2) é delimitada pelo triângulo OAB na Figura 1. Figura 1. Região de Invertibilidade de um processo MA (3) quando a equação característica tem três raízes iguais reais. 3. Identificação do Processo de Média Móvel A identificação do modelo é um aspecto crucial da análise de séries temporais. Uma prática comum é examinar as estruturas da função de autocorrelação (ACF) e função de autocorrelação parcial (PACF) de uma dada série temporal. A este respeito, diz-se que uma série temporal segue um processo de ordem média móvel se a sua função de autocorrelação associada cortada após o desfasamento e a correspondente função de autocorrelação parcial decai exponencialmente 10. Autores que utilizam este método acreditam que cada processo tem representação ACF única. Entretanto, a existência de estruturas de autocorrelação semelhantes entre o processo de média móvel eo processo de série de tempo linear bilinear puro da mesma ordem torna difícil identificar um processo de média móvel baseado no padrão de sua ACF. Além disso, uma análise cuidadosa da função de autocorrelação do quadrado de uma série temporal pode ajudar a determinar se a série segue um processo de média móvel. Se a série pode ser gerada por um processo de média móvel, então seu quadrado segue um processo de média móvel da mesma ordem 11 12. As condições sob as quais usamos a função de autocorrelação para distinguir entre processos que se comportam como processos de média móvel de ordem um e dois Foram determinados por 13 14, respectivamente. Estas condições são todas definidas em termos dos valores extremos dos coeficientes de autocorrelação dos processos. 4. Intervalos para os Coeficientes de Autocorrelação de um Processo de Média Móvel da Ordem Três Conforme indicado na Seção 3, o conhecimento dos valores extremos do coeficiente de autocorrelação de um processo de média móvel de uma ordem particular pode nos permitir assegurar a identificação apropriada do processo. Observou-se que para um processo de média móvel de ordem um, 15 enquanto que para um processo de média móvel de ordem dois e 5. A fim de generalizar sobre a gama de valores de um processo de ordem média móvel. Vale a pena determinar os valores de intervalo para um processo de média móvel de ordem três. O modelo em (2.1) tem a seguinte função de autocorrelação 10: Podemos deduzir de (4.1) que a função de autocorrelação no retardo do processo MA (3) é Usando o Livro de Notas Científicas, os valores mínimo e máximo de são encontrados para Ser e respectivamente. Para a função de autocorrelação no segundo intervalo, temos Os valores extremos de são igualmente obtidos com a ajuda do Livro de Notas Científicas. Para este efeito, tem um valor mínimo de 0,5 e um valor máximo de 0,5. A partir de (4.1), obtemos com base no resultado obtido no Caderno Científico, tem um valor mínimo de 0,5 e um valor máximo de 0,5. No entanto, os intervalos para podem ser facilmente obtidos analiticamente e este resultado é generalizado no Teorema 2 para o processo MA. As derivadas parciais de. E são Os pontos críticos de ocorre quando. Equacionando cada uma das derivadas parciais em (4.5), (4.6) e (4.7) a zero, obtemos2.1 Modelos de média móvel (modelos MA) Modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos e termos de média móvel. Na Semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor retardado de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de atraso 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define termos de média móvel. Um termo de média móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Vamos (wt desviar N (0, sigma2w)), significando que os w t são identicamente, distribuídos independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de ordem 1, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w pontos thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e de termos (não-quadrados) nas fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades Teóricas de uma Série de Tempo com um Modelo MA (1) Observe que o único valor não nulo na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma ACF de amostra com uma autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para os estudantes interessados, provas destas propriedades são um apêndice a este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (wt overset N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por Um gráfico deste ACF segue. O gráfico apenas mostrado é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra normalmente não proporciona um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito desse enredo. A ACF de amostra para os dados simulados segue. Observamos que a amostra ACF não corresponde ao padrão teórico do MA subjacente (1), ou seja, que todas as autocorrelações para os atrasos de 1 serão 0 Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria as mesmas características gerais. Propriedades teóricas de uma série temporal com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Note que os únicos valores não nulos na ACF teórica são para os retornos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos maiores são 0 . Assim, uma ACF de amostra com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para atrasos maiores indica um possível modelo MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são 1 0,5 e 2 0,3. Como este é um MA (2), o ACF teórico terá valores não nulos apenas nos intervalos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não nulas são: Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, dados de exemplo não vai se comportar tão perfeitamente como a teoria. Foram simulados n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). O gráfico de série de tempo dos dados segue. Como com o gráfico de série de tempo para os dados de amostra de MA (1), você não pode dizer muito dele. A ACF de amostra para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2, seguidos por valores não significativos para outros desfasamentos. Note que devido ao erro de amostragem, a ACF da amostra não corresponde exactamente ao padrão teórico. ACF para Modelos Gerais MA (q) Uma propriedade dos modelos MA (q) em geral é que existem autocorrelações não nulas para os primeiros q lags e autocorrelações 0 para todos os retornos gt q. Não-unicidade de conexão entre os valores de 1 e (rho1) no modelo MA (1). No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O recíproco 1 1 dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E então use 1 (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0,4 em ambas as instâncias. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Restringimos modelos MA (1) para ter valores com valor absoluto menor que 1. No exemplo dado, 1 0,5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto 1 10,5 2 não. Invertibilidade de modelos MA Um modelo MA é dito ser inversível se for algébrica equivalente a um modelo de ordem infinita convergente. Por convergência, queremos dizer que os coeficientes de RA diminuem para 0 à medida que avançamos no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em séries temporais de software utilizado para estimar os coeficientes de modelos com MA termos. Não é algo que verificamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são fornecidas no apêndice. Teoria Avançada Nota. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo invertible. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes têm valores tais que a equação 1- 1 y-. - q y q 0 tem soluções para y que caem fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10w t. 7w t-1. E depois simularam n 150 valores a partir deste modelo e traçaram a amostra de séries temporais ea amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lags de ACF para MA (1) com theta1 0.7 lags0: 10 cria uma variável chamada lags que varia de 0 a 10. plot (Lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (1) com theta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto Chamado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de plotagem (o terceiro comando) traça defasagens em relação aos valores de ACF para os retornos de 1 a 10. O parâmetro ylab marca o eixo y eo parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF basta usar o comando acfma1. A simulação e as parcelas foram feitas com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 adiciona 10 para fazer a média 10. Padrões de simulação significam 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostras simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. E depois simularam n 150 valores a partir deste modelo e traçaram a amostra de séries temporais ea amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 parcela (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, tipoh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, (X, typeb, main Simulado MA (2) Series) acf (x, xlimc (1,10), x2, MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de Propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 (x) é a expressão anterior x (x) A razão é que, por definição de independência do wt. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque w t tem média 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo MA reversível é aquele que pode ser escrito como um modelo de ordem infinita AR que converge de modo que os coeficientes AR convergem para 0 à medida que nos movemos infinitamente para trás no tempo. Bem demonstrar invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substitui-se a relação (2) para wt-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z-theta2w) No tempo t-2. A equação (2) torna-se Então substituimos a relação (4) para wt-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z-theta12z theta31w) Se continuássemos Infinitamente), obteríamos o modelo AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z pontos) Observe, no entanto, que se 1 1, os coeficientes multiplicando os desfasamentos de z aumentarão (infinitamente) Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo MA (1) invertible. Infinite Order MA model Na semana 3, bem ver que um modelo AR (1) pode ser convertido em um modelo de ordem infinita MA: (xt - mu wt phi1w phi21w pontos phik1 w dots sum phij1w) Esta soma de termos de ruído branco passado é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos voltando no tempo. Isso é chamado de ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Lembre-se na Semana 1, observamos que um requisito para um AR estacionário (1) é que 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer (phi1lt1) caso contrário, a série diverge. Como um exemplo SMA, considere um título com os seguintes preços de fechamento em 15 dias: Semana 1 (5 dias) 20, 22, 24, 25, 23 Semana 2 (5 dias) 26, 28, 26, 29, 27 Semana 3 (5 dias) 28, 30, 27, 29, 28 Uma MA de 10 dias seria a média dos preços de fechamento para os primeiros 10 dias como o primeiro ponto de dados. O ponto de dados seguinte iria cair o preço mais antigo, adicione o preço no dia 11 e tomar a média, e assim por diante, como mostrado abaixo. Conforme observado anteriormente, MAs atraso ação preço atual porque eles são baseados em preços passados ​​quanto maior for o período de tempo para o MA, maior será o desfasamento. Assim, um MA de 200 dias terá um grau muito maior de atraso do que um MA de 20 dias porque contém preços nos últimos 200 dias. A duração do MA para usar depende dos objetivos de negociação, com MAs mais curtos usados ​​para negociação de curto prazo e MA de longo prazo mais adequado para investidores de longo prazo. O MA de 200 dias é amplamente seguido por investidores e comerciantes, com quebras acima e abaixo desta média móvel considerada como sinais comerciais importantes. MAs também transmitir sinais comerciais importantes por conta própria, ou quando duas médias se cruzam. Um aumento MA indica que a segurança está em uma tendência de alta. Enquanto um declínio MA indica que está em uma tendência de baixa. Da mesma forma, o impulso ascendente é confirmado com um crossover de alta. Que ocorre quando um MA de curto prazo cruza acima de um MA de longo prazo. Momento descendente é confirmado com um crossover de baixa, que ocorre quando um MA de curto prazo cruza abaixo de um MA de longo prazo.